Dispersion spectrale du système
Une fente de hauteur h est placée au plan focal d’une lentille convexe ou d’un miroir concave. En utilisant l’approximation paraxiale, l’angle produit par cette hateur est donnée par theta ~= h/f, où h est la hauteur de la fente et f la longueur focale. On peut le voir selon l’optique de Fourier : la fente de largeur h produit un angle de largeur theta à la sortie de la lentille. On place le réseau à cet endroit, et il crée lui aussi une dispersion angulaire, selon l’équation sin(theta)=m*d*lambda, où m est l’orde de diffraction, d le pas du réseau (lignes/mm) et lambda la longueur d’onde. Pour un angle plus petit que h/f, on ne saura pas si la dispersion provient du réseau (donc de la longueur d’onde) ou bien de l’optique d’entrée (indépendante de la longueur d’onde). Puisque nous souhaitons différencier les longueurs d’onde pour obtenir un spectre, cela nous donne l’équation de la limite de résolution du système (en posant dans les deux cas sin(theta)=theta ) : h/f = m*d*delta_lambda => delta_lambda = h/(m*d*f).
À titre d’exemple, pour une fente de 63 um, une focale de 100 mm, un pas de 600 lignes/mm et l’ordre 1, on obtient une résolution de 1nm.
Largeur spectrale
Il y a un repliement spectral inhérent à l’équation du réseau. J’avais oublié ceci, c’est expliqué dans le Hecht à la page 481. En bref, il n’est pas possible de faire la distinction entre l’ordre m+1 et la longueur d’onde lambda/(m+1). Par exemple, un réseau produira la même dispersion angulaire pour une longueur d’onde de 600nm à l’ordre 1, que 300nm à l’ordre 2. Cela limite donc la largeur spectrale à lambda_max /2. Des techniques supplémentaires doivent être utilisées pour tenir compte de cet effet. Pour l’instant, il suffit de le garder en tête et je verrai quoi faire selon l’application.
Optique et fente de sortie
On doit s’assurer que h2f2 <= h1f1, autrement dit, que la fente de sortie et la focale de la lentille de sortie soient égales ou plus petites que les paramètres d’entrée. Le plus simple est souvent de garder les mêmes valeurs, soit ici 63 um et 100 mm. Si pour une raison ou une autre, cela n’est pas le cas, ce sera ce paramètre qui limitera la résolution finale du système. Par exemple, si je mets une photodiode de 1mm sans fente à la sortie du spectromètre, même si la fente d’entrée est de 63 um, la résolution spectrale sera de 17nm.
Aberrations du système optique
Jusqu’à maintenant, on utilisait des optiques sans défaut (et l’équation paraxiale!). Dans la vraie vie, les aberrations peuvent souvent limiter la résolution specrtale d’un système. La meilleure approche est toujours de diminuer l’ouverture numérique : augmenter la focale et diminuer les hauteurs des composants. Pour réduire les coûts, j’ai choisi un design à un seul miroir concave avec une focale de 100mm, et le plus petit réseau, soit 12,7mm de large. On verra plus loin que l’on a encore une marge de manoeuvre pour la limite posée par la diffraction de ces ouvertures. J’utilise OSLO pour simuler le tout. Je suis parti de la lentille d’exemple du monochromateur et je l’ai modifié comme suit :
// OSLO 22.2.0.22257 20041 0 34476
LEN NEW "Spectrometre 300-1700nm" -1e+20 4
NAO 0.08
OBH 1.0e-06
DES "Fred"
UNI 1.0
SNO1 "This is a very simple but interesting spectrograph. It is telecentric and"
SNO2 "afocal, but is used as a focal system. The grating is square, so the ebr must"
SNO3 "be oversized by sqrt(2) to fill it. The default drawing rays have been set at"
SNO4 "fy=0.6 so they pass within the checked grating aperture. Try interactive design"
SNO5 "and vary the object decenter and the grating tilt to see how this system works."
SNO10 "DIFFRACTIVE"
// SRF 0
AIR
TH 100.0
AP 1.0e-06
DT 1
DCY -15.0
NXT // SRF 1
RFH
RD -200.0
TH -100.0
AP 25.0
NXT // SRF 2
RFH
TH 100.0
AP 6.4
AST
DT 1
TLA -31.0
APN 1
AY1 0 -6.3
AY2 0 6.3
AX1 0 -6.3
AX2 0 6.3
ATP 0 2
AAC 0 4
GOR 1
GSP 0.0016667
RCO 0
NXT // SRF 3
RFL
TCE 236.0
PK CV -2 0.0
TH -100.0
PK AP -2
NXT // SRF 4
AIR
AP 25.0
CBK 1
RAIM Tel
WV 1.7
WW 1.0
END 4
DLID 100.0
DLFD 100.0
DLMN 0 -0.65
DLMX 0 0.65
DLNR 1 3
DLFP 1 0.0
DLMN 1 -0.65
DLMX 1 0.65
DLWN 1 2
DLFP 2 0.0
DLMN 2 -0.65
DLMX 2 0.65
DLWN 2 3L’ouverture numérique du système est de 0,08. Dans la construction, il faudra rajouter des stops quelque part pour la respecter, sinon la lumière pourrait se rendre jusqu’au détecteur par d’autres chemins. L’utilisation d’une fibre optique à NA=0,1 pourrait aussi être une bonne solution. Le schéma ressemble à ceci :
J’ai mis la longueur d’onde maximale, soit 1700nm, pour que le réseau ait l’angle maximal et produise ainsi le plus d’aberration. Je m’attends à ce qu’il y ait de l’aberration sphérique, de la coma et de l’astigmatisme, et sûrement autre chose. L’utilisation d’un miroir élimine les aberrations chromatiques, qui seraient ingérables sur une aussi grande bande spectrale. Dans mon cas, ce qui m’intéresse, c’est la largeur de la tache (spot size) produit par la somme de toutes les aberrations. Selon la simulation, cela donne ceci :
Le spectre sera selon l’axe y, donc la valeur à retenir est 0,017mm. On pourrait donc théoriquement avoir une fente aussi petite que cela, pour une résolution du sytème à ~0,27nm. Par contre, on perdrait le signal qui s’étalerait tout de même sur 62um en x. Notons que le résutat est très proche de la limite de la diffraction, soit 0,014mm. Cela veut dire que si l’on voulait aller chercher une meilleure résolution que 0,27nm, il faudrait grossir les composantes. J’utilie déjà le miroir standard le plus large (50mm), il faudrait donc utiliser deux miroirs, ou bien un miroir plus large et donc beaucoup plus dispendieux. Pour conserver une ouverture numérrique basse, le système devra également avoir des focales plus grandes, etc. Je souhaite produire un instrument portable et peu dispendieux, ces contraintes sont à prendre en considération.
Diffraction du réseau
Il est important que le réseau soit le plus possible en condition de pleine illumination, car la diffraction produite par N fentes pose également une limite à la résolution. L’équation est donnée dans le Hecht à la page 481 :
lambda / delta_lamba = mN, où N = dL est le nombre de lignes total du réseau, d est le pas du réseau et L la largeur
En réarrangeant l’équation, on a :
delta_lambda = lambda / (m * d * L)
Prenons le cas extrême dans mon exemple, 1700nm : on a une diffraction de 1700nm / (1 * 600mm^-1*12,7mm) = 0,22nm. Pour descendre en résolution, il faudrait un réseau plus large ou avec un pas plus dense. Comme je m’en suis rendu compte dans mon article prédédent, 600 lignes/mm est le maximum pour obtenir des angles raisonnables à 1700nm. La seule solution est encore une fois d’avoir un réseau plus large, donc un système optique plus large. Je vais me satisfaire du design actuel, puisque ce n’est pas cet effet qui limite la résolution.
Précision mécanique de l’angle du réseau
C’est bien beau les simulations, mais dans les faits, il va falloir aligner tout ça comme il faut. On verra comment je réussirai à assembler tout ça. Pour les fins de la simulation, le paramètre important est la résolution angulaire du moteur. Dans ce type de spectromètre, la fente d’entrée et de sortie gardent leur position, et on scanne les longueurs d’onde en faisant tourner le réseau. Par exemple, selon la simulation OSLO, pour une longueur d’onde de 300nm, il faudra mettre le réseau à un angle de -5,5deg, et pour 1700nm, ce sera -31deg. En approximant le tout comme étant linéaire, on obtient environ 0,018deg/nm. L’encodeur que je souhaite utiliser est spécifié à 0,011deg de résolution. Je pourrai donc garantir une résolution de 1nm. Je pourrais aller plus bas en microstepping, mais je n’aurais pas la certitude que mécaniquement l’angle soit réellement changé. Je pourrais aussi utiliser une boîte d’engrenages, mais cela vient avec des problèmes supplémentaires : backlash et répétabilité.
Conclusion
On voit que pour plein de raisons, la limite de la résolution spectrale tourne autour de 1nm dans mon design. Aller au-delà demande une complexité dans laquelle je ne suis pas prês de m’aventurer. Ce sera déjà un bon défi d’atteindre ce niveau de performance avec les pièces que j’ai choisies.